第2講 熱


§3 熱力学第1法則


 「力と運動」の章では、摩擦のような非保存力が働かない系についての力学的エネルギー保存則を導きました。非保存力が働くと物体の内部エネルギーが変化します。ここでは、系の内部エネルギーの変化を含めたエネルギー保存を導入します。

3.1 熱力学第1法則

 熱力学第1法則は、系の内部エネルギー変化を含めた、一般化されたエネルギー保存則です。

 ある系とその周囲との間には、次の2つの形態のエネルギー伝達があります。

1) 系になされる仕事

    仕事の大きさを W と書き、系が周囲に仕事をするとき W を正とし、系に仕事をされるとき負とします。仕事は、圧縮したり膨張させるなど巨視的なレベルでエネルギーを伝達します。

2) 系への熱の流れ

    伝達される熱量を Q と書き、系が熱を吸収するとき Q を正とし、熱を失うとき負とします。熱の流れは、微視的な分子運動を通じてエネルギーを伝えます。

系が熱量 Q を吸収し、外部に仕事 W をするとき、Q - W を系の内部エネルギー変化と呼びます。熱を吸収し、外部に仕事をする以前の内部エネルギーの初期状態を Ui と書き、最終状態を Uf と書けば、内部エネルギーの変化 DU = Uf Ui は次の式で書くことができます。

    DU = Uf Ui = Q - W         (1)

方程式(1)は熱力学の第1法則として知られています。

 系の内部エネルギーとは、系を構成する分子の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの総和です。微視的レベルでのエネルギー伝達である熱と、巨視的なエネルギー伝達である仕事とによって、系に内部エネルギーの変化が起きます。従って、微視的なスケールでは、熱と仕事との間には実質的な違いは無いことがわかります。

 内部エネルギー変化 DU は、系の初期状態から最終状態への変化の経路には依存しません。このような量を状態量と呼びます。

 これに対して、系がある状態にあるとき、QW はその状態に固有ではありません。変化の経路が決まれば、これらの量を測定することができます。QW は経路に依存しますが、Q - W は経路とは独立なのです。

3.2 孤立系の内部エネルギー

 周囲となんの相互作用をしない系を孤立系と呼びます。孤立系には熱の伝達もなく、また仕事をされることもないので、内部エネルギー変化はDU = 0 です。すなわち、孤立系の内部エネルギーは一定です。

3.3 サイクル

 初期状態と最終状態が同じ状態である過程を循環過程もしくはサイクルと呼びます。サイクルでは DU = Uf Ui = 0、従って Q = W が成り立ちます。系が吸収した熱量の分だけ外界に仕事をするということです。吸収した熱をもとに力学的な仕事をする装置を熱機関と呼びます。サイクルは熱機関を熱力学的に記述する上で重要な役割を果たします。

3.4 断熱過程

 系に熱の出入りが無い過程、すなわち Q = 0 である過程を断熱過程と呼びます。熱力学第1法則により次の関係が成り立ちます。

    DU = - W         (2)

 断熱過程は、系を断熱材のようなものを用いて熱的に絶縁したり、系を急速に圧縮・膨張させることによって起きます。

 系が断熱的に膨張するとき、周囲に正の仕事をするので、(2)式により系の内部エネルギーは減少し、温度が低下します。これを断熱膨張と呼びます。夏に、地表で暖められた空気が上昇して、低圧の上空で断熱膨張し、温度が低下して雲が発生します。

 系が断熱的に圧縮されるとき、周囲に負の仕事をするので、(2)式により系の内部エネルギーが増加して温度上昇します。これを断熱圧縮と呼びます。空気ポンプを急激に押すとシリンダ内の温度が上昇します。

3.5 定圧過程

 一定圧力のもとで進行する過程を定圧過程と呼びます。低圧過程では系に流れる熱も系にされる仕事もゼロではありません。

 低圧過程で系がする仕事は、圧力と体積変化の積です。

   W = P( Vf - Vi ) 

3.6 定積過程

 一定体積のもとで進行する過程を定積過程と呼びます。定積過程では仕事がゼロです。従って熱力学第1法則により次の関係が成り立ちます。

    DU = Q

すなわち、一定体積のもとで熱を加えると、吸収した熱の分だけ内部エネルギーが増加することが分かります。

3.7 定温過程

 一定温度のもとで進行する過程を定温過程と呼びます。系の圧力と体積を縦軸と横軸にとって、定温過程での圧力と体積の変化を曲線に表したものを等温線と呼びます。

 理想気体の場合、理想気体の状態方程式

    PV = NkT

が成り立ちますので、右辺が一定である定温過程では PV = 一定 つまり、等温線は双曲線です(図3.1)。

図3.1 理想気体の等温膨張の P-V

3.8 理想気体の定温過程での仕事

 理想気体が初期状態 ( Pi , Vi ) から最終状態 ( Pf , Vf ) まで状態変化するとき、気体の膨張によって行われる仕事を計算してみましょう。(図3.2参照)

図3.2 理想気体の等温膨張

 まず、底面積 A の理想気体を封入したシリンダとピストンを考えます。気体が十分(常に実質的に熱平衡をたもつように)ゆっくりと膨張するとき、気体がピストンにする仕事は次のように書けます。

    dW = Fdy = PAdy = PdV

ここで dy はピストンの微小な上昇距離です。従って、気体の体積がVi から Vf まで変化するときに気体がする全仕事は、上の式を積分することによって与えられます。

            (3)

 これに理想気体の状態方程式を適用します。このとき、温度が定数であることに注意します。

   

従って、理想気体の定温膨張過程での仕事は次のように書くことができます。

            (4)