バネの振動運動


問1
 重力の働かない空間に、バネ定数 k のバネが固定されている。 バネの長さ方向にy軸をとり、バネが伸び縮みのない自然な長さのときの バネの一端をy軸の原点とする。この端に質量 m のブロックを取り付けて、 長さ y0 だけバネを縮めて静止させる。これを初期状態とする。

  1. バネが縮まる方向をy軸の正の方向として( y0 > 0 )、 初期状態のバネ+ブロックと座標軸を含む図を書け。
  2. バネが自然の長さになっている位置(即ち原点)から、 ブロックを取り付けて長さy0 まで縮めるまでに、バネがした仕事 W を求めよ。 (参考:バネが長さ y だけ伸縮しているときバネがブロックに加えている力 f は一般に f = - ky と書ける。)
  3. バネが y0 まで縮められた上記の初期状態でのバネ+ブロックの系の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの総和 E0 を書け。
  4. 初期状態からバネの力によってブロックを運動させる。バネの自然の長さからの変位(即ちブロックの位置)が y のときのブロックの速度を v (y) とする。このときのポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの総和 E を書け。
  5. エネルギー保存則を用いてブロックの速度 v (y) を位置 y の関数として表せ。
  6. 上で求めた表式から、v (y) と y の関係をグラフに書け。 さらに初期状態 y =y0 からの運動方向をグラフの中に矢印で示せ。

問2(単純な応用問題)
   問1で用いたバネ+ブロックの系を地表の重力場に持ってきて、同じく y0 だけ縮めたときを初期状態とする。バネは重力の方向に伸縮させ、y軸の正の方向を重力の方向と反対向きにとり、重力加速度は -g とする。ただしバネ自身は非常に軽く、バネ自身の質量は無視できるものとする。
(余裕のある人はバネの質量がバネ定数に対してどの程度の大きさならこの設定が成り立つか議論してみよ。)

  1. 上の問1.3〜1.5 と同様にしてバネ+ブロックの系のエネルギー保存を表す等式を書け。ポテンシャルエネルギーがバネのポテンシャルに重力ポテンシャルが加わることに注意せよ。
  2. ブロックの速度 v (y) をブロックの位置 y の関数として表し、グラフに書け。図中に運動方向を示す矢印を記入せよ。重力が働かない場合との運動の違いを言葉で説明せよ。