円運動とバネの単振動


問題1 【等速円運動の速度・加速度】
 質点 m が半径 A = 1(m) の円周上を角速度(角振動数) ω=π/6 (rad/s) で等速度円運動している。ある時刻における、この質点の位置・速度・加速度ベクトルを調べよう。円の中心を原点として直交した x - y 軸をとる。運動の始点は x 軸上の座標 ( 1, 0 ) とする。

  1. 任意の時刻 t での位置・速度・加速度ベクトルの x, y 成分 ( x, y ), ( vx, vy ), ( ax, ay ) を各々t の関数として数式で表せ。
  2. 円軌道を x - y グラフに描き、時刻 t = 1 (s) での、上の位置ベクトル、速度ベクトル、加速度ベクトルをグラフの中に示せ。

問題 2 【バネの運動による単振動】
 質量 m = 1 (Kg) の質点を一端につないだ、バネ定数が k = 2 (N/m) のバネが x 軸上を振動運動している。振動の角振動数は ω = √2 (rad/s) であり、振幅は A = 1 (m) になっている。この系には重力は働かず、バネ自身の質量は無視できるものとする。この系の振動運動とエネルギーについて考えよう。

  1. 振動の中心を x 軸の原点として、バネのポテンシャルエネルギー U(x) を質点の変位 x を用いて表し、U(x) - x グラフを描け。さらに、バネのポテンシャルから質点に働くバネの力 f(x) を求め、f(x) - x グラフを描け。
  2. 質点の位置 x(t) を時刻 t の関数として数式で表せ。ただし、振動の始点は x(0) =1 (m) であったとする。
  3. この振動の周期 T (s)を求めよ。(答えにはπを使っても良い)
  4. このバネのポテンシャルエネルギー U、質点の運動エネルギー K、及び両者の総和(即ち系の全エネルギー) E を各々時間の関数 U(t)、K(t)、E(t) として数式で表せ。(問2.2 の答えを利用せよ) そして、これら3つの量を縦軸にとり、時間 t を横軸にとって、時刻 t = 0 から1周期分の時間範囲で、各々の変化を一つのグラフに重ね合わせて描け。