<% dim Radder For Each Env in Request.ServerVariables select case Env case "REMOTE_ADDR" Radder = Request.ServerVariables(Env) end select next Set db = Server.CreateObject("ADODB.Connection") db.open "Physics","netuser","physics" Set rs = Server.CreateObject("ADODB.Recordset") rs.Open "解説コンテンツ利用記録", db, 1,3,2 rs.AddNew rs("個人ID")=Radder rs("項目")="位置・速度・加速度の関係" rs("送信日時")=Now rs.UpDate db.Close %>

位置・速度・加速度の関係

一定の速さでx軸に沿って x = 0m と x = 50m の間を往復する運動を考えよう.この動きの一瞬一瞬の位置を,縦軸に位置,横軸に時刻をとってグラフに表すと,図1のようなグラフで表されます.

x -t グラフでは縦軸が空間座標で,横軸は時間です.縦軸と横軸で物理的次元が異なるので注意しよう)

さて,このような運動で,ある時刻(初期観測時刻) ti とある時刻(最終観測時刻) tf での位置 xi , xf を測定し,その間の変位 Dx を求めます.

(ここで「初期」「最終」と言っているのは運動全体の肇と終わりという意味ではなく,位置を2回観測するときの前の時刻と後のほうの時刻という意味です)

変位Dxの定義はつぎのようです.

Dx ≡ xf - xi

とにかく,後の位置から前の位置を差し引けばいいのですね.

このとき, xf と xi の値が図1のようだったとすると,変位Dxは負の値になります.しかもこの変位の間に,実は1往復半くらい動いています.でも,とにかく時刻 ti tf の間の変位はこれでいいのです.

図1. 一定の速さでx軸に沿って x = 0m と x = 50m の間を往復運動する場合の x - t グラフ

次に,この変位の間の平均の速度を求めましょう.平均の速度 v とは変位Dxを経過時間Dt = tf - tiで割った値です.次のように定義されます.

平均の速度,あるいは平均速度の「平均」とは,速度(あるいは変位)を観測する時間の長さ Dt が任意の大きさでよいということです.とにかくその時間では平均的にその速度になる,ということです.数秒でもいいし,数時間,数日,数年でもいい.図1のように,その時間内に実は物体が正の向きに移動したり負の向きに移動したりしているかもしれないけれど,その時間間隔では平均として上のような式で求められる速度を持つということです.

図1の変位Dxに対する平均速度 v = Dx/Dt がどんなものに相当するかを表したのが図2です.横軸にDtの幅,縦軸にDxの幅をとると,平均速度とは2点( xi ,ti)と( xf , tf)をつなぐ直線の勾配(傾き)に相当します.図の場合では勾配が負です.これは,この経過時間の間に物体はx軸の負の向きに移動したことを意味します.

このように,速度は x - t グラフで,勾配に相当することを理解してください.

図2. 観測時刻 ti tf の間の変位Dxと平均の速度Dx/Dt

とはいえ,観測時間Dtが長いと,その途中の運動の変化が気になります.観測時間Dtをもっとずっと短くしていけば,その時間では動きの変化が無い,一定速度で運動しているとみなせるような観測時間が多くの場合にはあります.そこで,観測時間Dtを充分短くしたとき(数学的にはDt → 0 )の速度を「瞬間の速度」あるいは単に「速度」と呼びます.

図3. 観測時間Dtを充分小さくして速度を求める

ここからは少し記号を書き直してみます.x軸上での物体の運動を考えよう(3次元での運動でも、各座標軸に射影した運動の様子として考えればよい)。任意の時刻 t での位置は、x(t) と書くことができます。この記号x(t)は,座標 x を時刻 t の関数として表した,ということです.

ここで,時刻 tf , ti のかわりに初期時刻はtiですが,最終時刻を tf = ti + Dt と書き直します.

この運動を微小な時間間隔t ごとに N 回測定したとしよう。i回目の測定のときの、時間t での平均速度はあらためて次のように書くことができます。

    (1)

この時間間隔t を極限的にゼロにしていくときの平均速度の値は「瞬間の速度」になります。極限的に短い時間はtではなくてdtと書かれます。数学の知識を用いれば瞬間速度 v(t) は位置 x(t) の時間微分です。位置を微分する(微分係数を求める)とは、位置の時間変化率を、極限的に短い経過時間について求めることです。

(ただし極限的にとはいっても、実際には運動を観測する対象によって、「充分短い時間」は異なります。物理の場合はdtは無限にゼロにする時間というわけではなくて、充分短いが有限の時間と考えてよいでしょうその観測時間では物体の運動に測定精度内で変化がない,という風に条件付けしてもいいでしょう。

     (2)

位置 x(t) の時刻 t での時間微分値とは、式(1)から分かるように、x(t)-t グラフの時刻 t での接線の勾配(傾き)を求めることを意味します。これが上の図2でDt をずーっと小さくしていくと速度は時刻 ti のところでのグラフの接線の勾配になることがわかります。

さて,今度は,時間間隔Dt ごとの平均速度 vDt をかけて積算していくとどうなるでしょうか?普通に vDt といったらこれは変位ですね.ここまでは変位から速度を求めてきましたが,逆に,速度から変位,さらには位置を逆に求めてみようということです.

(1)を考えると次のようになります。

    (3)

ここで、t0 は初期時刻、tf は最終時刻です。ややこしいようですが、要するに位置の変化、変位の値が出てきます。そして(3)式の左端の項は、下の図4のように速度-時間のグラフで、速度の曲線の下の面積を計算することに相当します。このグラフでは速度が時間とともに滑らかに変わりますが,Dt 時間ではだいたい一定の動きとして(ややオーバーに)近似して,各時刻での速度 v を図のように v の記号の上に上線をつけて申し訳をしています.これはを極限的に小さくしていくことで下述のように気にしなくてよくなります.

図4. 速度と時間のグラフ

(3)をDt を極限的にゼロにした極限は「定積分」と呼ばれます。積分とは,いわば足し算,積算なのです.図4の時刻 t0 から tf までの v(t) 曲線の下側の正確な面積が次のようにして求められます。

    (4)

まとめて言うと、速度の時間積分は変位です。任意の時刻までの変位を初期時刻での位置に加えれば、その時刻での位置が求められます。

    (5)

速度と加速度の関係も全く同じように理解できます。

加速度とは、速度の時間変化率。従って、瞬間の加速度は速度の時間微分値である。

    (6)

そして、加速度の時間積分は速度の変化分に相当します。

    (7)

下は,位置,速度,加速度の間の関係を,位置−時間グラフ,速度−時間グラフ,加速度−時間グラフの間の関係として表してみました.位置・速度グラフの曲線の接線が,その時刻での速度や加速度といった微分量,速度・加速度グラフの下側の面積が位置,速度といった積分量になることを理解してもらえれば幸いです.

自然現象やものの仕組みを理解するためには、「変化量」や「蓄積」が重要な役割を果たすことが多い。初等的な微分積分学は誰でも学んでおきたい分野です。

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