互いに反発し、自由に運動できる粒子系は、どんな分布をするか?


2次元の円の領域に、互いに電気的に反発しあう粒子がランダムに置かれたとします。
粒子が領域内を自由に運動できるようにしてやると、果たして粒子はこの領域にどのように分布するでしょうか。
下図の、スクロールバーで粒子数を変えて、図の上の「Restart」ボタンを押してみて下さい。

粒子は領域の周縁に散っていきます。周縁に移動し遅れた粒子は、やがて周囲の粒子からの力が釣り合う位置に分布します。それでも、周縁の粒子の密度が高くなっていますね。

図中には、1個の粒子にのみ、その粒子に働く他のすべての粒子からの電場ベクトルの合計が表示してあります。

大まかに考えれば、周縁では、領域の内側からは反発力で押し出されるが、外側からは力を受けない。それで周縁に自然に押しやられるのですね。(ただし、周縁では運動自体が制限され、外へ出れないとしています)一方、領域内部に残った粒子は周縁に集中した粒子によって、内部で釣り合いの位置に呪縛されている感じですね。

画像の任意の位置でマウスをドラッグすると、その位置での電場ベクトルが赤で表示されます。粒子の近傍では、その粒子の電場の強い影響が出てしまいますが、空いている領域にマウスを移動すれば、平均的な電場が推測できます。

これらは「ガウスの法則」の内容で述べられていたことと一致します。

導体が帯電している状態では、同符号の電荷を持った粒子は反発し合いながら運動します。すると上と同様に、導体の表面に荷電粒子が現れてきます。ただし、導体の場合には圧倒的に多粒子なので、導体内部に比べれば、表面の電荷密度が圧倒的に大きいことになります。

このアプレットでは、粒子は正方格子上を前後左右にしか動けないようにしてあります。また、電場の大きさによらず、1回動くときは格子1単位分しか動きません。このため、電場のベクトルの方向と運動方向とは必ずしも一致しないことがあります。また、正方格子のために、周縁部に到達すると移動ができなくなることがあります。そこで、周縁領域ではランダム運動も入っています。周縁に到達した粒子が震えるような動きをするのはこの影響が大きいです。