電束−電場の湧き出し−


電荷を一つの閉曲面で囲む。この閉曲面を通過する、電荷からの電気力線を考えよう。即ち、閉曲面上での電場の分布を考えようということだ。下図では、電荷を中心とした球面上での電場を考えている。

まず、一定半径の球を考えよう。球表面の電場の大きさはどこでも同じで、電場の方向は常に面に垂直である。

ここで球の中心の電荷を増やしてみよう。球表面の電場は、一個一個の電荷が作る電場の和である。

次に球の半径を変えてみよう。電場の大きさは電荷からの距離の二乗に反比例するので、球の半径を小さくすると電場はぐんぐん大きくなる。

電場は、空間の一点一点について求められる。それでは、電場を球の表面全体で積算することを考えてみよう。

球の表面積は半径の二乗に比例して大きくなる。球表面全体を、表面の一点一点の集合だと思えば、この点の数が半径の二乗に比例して増加するわけだ。

一方、球表面での一点一点の電場の大きさはどうだったろう。一点ごとの電場の強さは半径の二乗に反比例する。

球の半径を大きくしていくとき、表面の点の数が半径の二乗に比例して増加し、各々の点での電場は半径の二乗に反比例して減少する。

半径 r の球表面での各点での電場の大きさは ELFIELD2.GIF (357 バイト) 、球の表面積は SURFAREA.GIF (212 バイト)

従って両者を掛け算すれば、

ELFLUX_1.GIF (790 バイト)

となって、結局、球殻を大きくしても小さくしても、球殻全体を貫く電場の総和は一定値である。
しかもその値は、中心の電荷量で決まる。

これはまた、球表面での電場は球殻内部の電荷量で決まっている、ということでもある。

これをもっと一般化して考えたのが「ガウスの法則」です。