2個の電荷の作る電場(ベクトル表示)


下図で2次元空間内で、マウスをクリックまたはドラッグすると、その位置での2つの電荷の電場のベクトルと、これらの合成電場がベクトル表示されます。ボタンをクリックすると右側の電荷の符号が変わります。

複数の電荷による電場は、1個1個の電荷による電場の単純な和です。しかし、単純といっても、ベクトル和です。2つのベクトルの和は、それぞれのベクトルのx成分、y成分同士の和を,x成分y成分としたベクトルを作る。

計算をするときは、まず図を描いて、ベクトルの大きさや方向を把握しておこう。

 

 

2個の点電荷の電場の計算(2次元平面上)

2個の電荷$q_{1}$および$q_{2}$が,それぞれ位置MATHと位置MATHにある.

同じ平面内の位置MATHで,これらの電荷が作る電場を計算しよう.

条件に応じて手早く計算することもできます.

しかし,ここではどんな場合でも計算できるように,基本に忠実な計算を示します.

電荷$q_{1}$による位置MATHの電場MATHを求めるため,MATHからMATHへの動径ベクトルMATHを求める.

MATH(「行き先」から「出発点」をひく)

MATH

(*成分ごとにまとめて計算)

(*x成分ベクトルとy成分ベクトルの「和」の形でベクトルを構成する.

なんとなく「-」でつないでしまわないように注意しよう.

つまり,MATHと書かないように注意)




同様にして,MATHからMATHへの動径ベクトルMATHを求める.(まとめておきます)

MATH

MATH




次に,各動径ベクトルの大きさを求めます.

MATH

MATH

(ベクトルは,直交する2成分に分けて,これらの成分ベクトルの和として表せます.

つまり直角三角形の斜辺をもとのベクトルとして,直交する2辺の方向の成分ベクトルの和ということ.

従って,もとのベクトルの大きさは,三平方(ピタゴラス)の定理により直交2成分の2乗和の平方に等しい.)




それでは,電荷$q_{1}$による位置MATHの電場MATHを求めます.

MATH

同じく,電荷$q_{2}$による位置MATHの電場MATHを求めます.

MATH

(1が2に置き換わるだけです)




最後に,2個の電荷$q_{1}$および$q_{2}$による位置MATHの電場$\overrightarrow{E}$を求めます.

2つの電荷の電場MATHの和です.

MATH

MATH

MATH




3個以上の電荷の電場の合成も同様にして求めることができます.

以下は2個の電荷の電場(空間の各点の矢印で示す)と電位(等電位線で示す)の図です。左側が電場ベクトルと等電位線の図、右側が電位を3Dで表した図です。電場は電位の勾配に相当します。従って、右図のxy平面上の各点で、電場の向きはその位置で斜面を下る向き、そして電場の大きさは斜面の勾配の強さに相当します。

2つの等しい正電荷の電場と電位2つの等しい正電荷の電位

↑2個の等しい正電荷による電場と電位

8対1の正電荷の電場と電位8対1の正電荷の電位

↑8対1の大きさの2個の正電荷による電場と電位

正負の電荷の電場と電位正負の電荷の電場と電位

↑大きさが等しい、正負の電荷(左が正、右が負)の電場と電位

 

8対1の正負電荷の電場と電位8対1の正負電荷の電位

↑大きさが8対1の、正負の電荷(左の大きさ比8の電荷が正、右の大きさ比1の電荷が負)の電場と電位

ソースコード